ברששת נשוי ואב ל-4, מתגורר בנתיבות.
נולד בעיר בית שמש לאברהם ודינה ברששת ממיסדי העיר. בביתו גדל על המוזיקה המרוקאית. בגיל עשר החל ללמוד חזנות במכון רננות בירושלים, ובגיל 13 כבר שימש כחזן בבתי הכנסת השונים בעיר. בגיל 15 למד נגינה בכינור על הברך, אצל הכנר הדגול יוסי שריקי ז״ל, ובגיל 17 ניגן בתזמורת האנדלוסית הישראלית. בהיותו בן 19, ברששת למד באופן קבוע אצל הרב הפייטן המהולל חיים לוק, את הפיוט העיברי ואומנות הביצוע.
ברששת מבצע סגנונות רבים מהמוזיקה הצפון אפריקאית, שר בעברית, בערבית ובצרפתית.
הוא משמש כסולן ראשי בתזמורת האנדלוסית הישראלית ומרבה להופיע בארץ ובעולם בעיקר במרוקו.
ברששת מספר שגדל בשכנות לסבתא חנינה האהובה והצדיקה, ומימנה למדו הוא וחבריו בין היתר, על אהבת האדם.
משה ברששת: "השבוע זכיתי לסגירת מעגל. סבתא חנינה - הסבתא של כל עם ישראל, שחגגה לפני כמה ימים יומהולדת 90 - חגגה ביום חמישי בר מצווה לנין שלה.
בילדותי גדלתי בבית שמש בשכנות אליה וכילדים זכינו לחוות ממנה מה זה אהבת אדם אמיתית.
המעט שיכלתי לעשות זה להקדיש לה שיר באהבה ובהערצה גדולה לדמות מיוחדת במינה".
מערכת שמשנט מאחלת לנין ולסבתא חנינה היקרה (שאותה ברכנו גם ביום הולדתה) המון בריאות, אושר ואריכות שנים והמשך ברכה והצלחה לפייטן משה ברששת היקר והמוכשר.
לצפייה בסרטון בו משה מקדיש לסבתא חנינה את השיר״עמרי מא ננסק יא מאמא" -הכנסו לדף הפייסבוק של שמשנט. צילום מאיר מלכה בנה של חנינה.